Počítání s chybami II - Dodatek k dodatku
Datum 9. 04. 2010 v 21:33 | Rubrika: Teorie
| Teorie tolerancí se ukázala jako značně zajímavé téma, a proto se Bernard rozhodl dopsat dodatek. Ten je konec konců i v původním článku.
Pak se ovšem rozhodl dopsat ještě druhý dodatek a ten pak ještě o něco vylepšil  Konečnou podobu jeho díla si můžete přečíst samostatně.
Takže pokud máte rádi matematiku, hrátky s čísly a další podobná kouzla, neváhejte a vstupte. Určitě nebudete zklamáni.
Dodatek k dodatku – příklad
Mějme tedy sériově - paralelní uspořádání tří konkrétních rezistorů :
Uvedené hodnoty rezistorů jsou nominální (jmenovité) a výsledek 2,5 kΩ je tedy teoretická přesná hodnota odporu výsledného dvojpólu. Všechny hodnoty budeme uvažovat v kiloohmech.
Znak ∆ (řecké písmeno delta) se v matematice používá pro přírůstek hodnoty a chceme-li rozlišit veličinu, které se přírůstek týká, zapíšeme ji hned za to delta. Například ∆R bude přírůstek výsledného odporu, ∆R1 přírůstek hodnoty R1.
a) Představme si teď, že rezistor R1 nahradíme proměnným odporem dovolujícím nastavit libovolnou hodnotu od 0 do 10 kΩ. Odpor výsledného dvojpólu už nebude konstantní, ale bude záviset na nastavené hodnotě R1:
Hodnota R je tedy funkcí proměnné hodnoty R1 a tuto závislost si snadno můžeme zobrazit jako graf, a to hned dvakrát. Jednou pro celkový rozsah hodnot R1, podruhé zvětšený tak, abychom podrobně viděli okolí blízké jmenovité hodnotě R1= 1 kΩ:
Hodnota citlivosti c1 = 1 tedy hovoří, že o kolik naroste hodnota R1, o stejnou hodnotu se zvětší odpor výsledného dvojpólu. To je určitě srozumitelné i pro elektrotechnika jen mírně pokročilého, neboť to, o co vzroste hodnota sériového odporu, je vlastně jen další odpor v sérii.
b) Vytvořme si obdobnou představu pro situaci, ve které proměnnou veličinou bude rezistor R2 :
Obdobně si pro tento případ ukažme grafické závislosti pro celý rozsah R2 a pro blízké okolí jmenovité hodnoty 2 kΩ:
Hned jste si jistě všimli, že závislost výsledného odporu na proměnné hodnotě R2 není přímková, ale tvoří křivku. Je to prostě tím, že hodnota R2 je i ve jmenovateli zlomku, a takto to tedy vychází. Na detailním obrázku je situace „vylepšená“ tím, že onu křivku v malém rozmezí můžeme považovat za rovnou a koeficient citlivosti c odpovídá vlastně sklonu pomyslné tečny ke křivce v daném bodě. A ten sklon je takový, že změna R2 o 100 Ω způsobí změnu celkového odporu o 56 Ω, protože podle vzorce, ke kterému jsme se dopracovali výše, hodnota c2 = 62/(2+6)2 = 0,56.
c) Nakonec si znázorníme situaci, ve které proměnnou veličinou bude rezistor R3 :
Nebude jistě překvapením, že charakter závislosti celkového odporu je obdobný jako v předcházejícím případě:
Nyní je hodnota citlivosti c3 pouhých 0,062 a sklon tečny je tedy menší, přibližuje se k horizontální ose a na změnu R3 o 100 Ω reaguje celkový odpor o hodnotu 6,2 Ω, neboť citlivost c3 = 22/(2+6)2 = 0,062.
A na závěr: Co s tím vším?
Tak třeba máme ono zapojení s rezistory 1 k Ω ±5%, 2 k Ω ±10%, 6 k Ω ±20%, jaký rozptyl můžeme celkově očekávat? Výslednou celkovou změnu odporu můžeme vyjádřit součtem
∆R = c1 × ∆R1 + c2 × ∆R2 + c3 × ∆R3 ;
a pokud ∆R1/R1 = p1 (z toho ∆R1 = p1 × R1 ) , a obdobně i p2 a p3 (a tedy p1=±0,05; p2=±0,1; p3=±0,2), potom
∆R = c1 × p1 × R1 + c2 × p2 × R2 + c3 × p3 × R3; a výsledná tolerance tedy:
p = ∆R/R = (c1 × p1 × R1 + c2 × p2 × R2 + c3 × p3 × R3) / R = (1 × 0,05 × 1 + 0,56 × 0,1 × 2 + 0,062 × 0,2 × 6)/2,5 ;
p = 0,095 ; celková odchylka výsledného odporu bude tedy nejvíc ±9,5%.
Jiný příklad: Jak dosáhnout celkové tolerance nejvýše ±5 %?
Uvažujme, že každý rezistor by měl toleranci ±1 %, jak by každý přispěl do celkového výsledku?
p = c1 × p1 × R1/R + c2 × p2 × R2/R + c3 × p3 × R3/R = 0,0040 + 0,0045 + 0,0015 ; a tedy v procentech:
p [%] = 0,4 × 1% + 0,45 × 1% + 0,15 × 1% = 1%; a můžeme tedy kombinovat:
p [%] = 0,4 × 5% + 0,45 × 5% + 0,15 × 5% = 5% ;
p [%] = 0,4 × 2% + 0,45 × 2% + 0,15 × 20% = 4,7% ;
Kdo chce, dosadí si jiné kombinace hodnot odporů a může si hrát až do omrzení. Smyslem tohoto dodatku ale bylo ukázat, že použití středoškolské matematiky v elektrických obvodech nemusí být žádné trápení, ale užitečná a celkem zábavná činnost!
Hloubavého čtenáře při pohledu na ty křivky celkového odporu možná napadne, že pro velké odchylky (třeba ±50 %) se dopouštíme chyby tím, že v okolí jmenovité hodnoty jsme si křivku zaměnili přímkou, ale skutečnost je zakřivená a při velkých odchylkách bychom to neměli ignorovat! Nuže, tento čtenář má pravdu. Buď se tedy smíříme s horší přesností výpočtu, nebo použijeme pracnější, ale exaktní metodu Žirafky. Takže končíme začátkem
|
|