Vánoční nekonečné zamyšlení
Datum 24. 12. 2015 v 8:12 | Rubrika: Teorie
| Když už tu máme vánoce, měla by to být příležitost nejen na hodování, ale také na zamyšlení. A na jeden takový námět k zamyšlení jsem dostal tip, na internetu je okolo něho dost názorů. Nenechám si ho pro sebe, a volně ho tu přetlumočím.
Pouvažujme o tom, jaký výsledný součet může mít řada přirozených čísel, jdoucí od jednotky až do nekonečna:
S = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ...
Použitím selského rozumu můžeme dojít k názoru, že výslekem součtu bude číslo, rostoucí nade všechny meze, tedy hodnota nekonečně velká. Pojďme uvažovat dál, o součtu řady Sa, také jdoucí do nekonečna:
Sa = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + ...
Tady i selský rozum váhá mezi hodnotou 1 a hodnotou 0, dá se však výsledek stanovit jednoznačně? Zkusme vsunout za prvý člen závorku:
Sa = 1 - (1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + ...) = 1 - Sa
2×Sa = 1
Sa = 1/2
No vida, podařilo se. Pokusme si pohrát se součtem další řady, nazveme jí Sb. Napíšeme ji pod sebe dvakrát s posunutím, a spočítáme obě (stejné) řady:
Sb = 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + 7 - ...
Sb = 0 + 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + ...
----------------------------------------
2×Sb=1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - ...
2×Sb= Sa = 1/2
Sb = 1/4
Vraťme se teď k naší původní řadě S a zkusme od ní odečíst řadu Sb:
S = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + ...
-Sb=-1 + 2 - 3 + 4 - 5 + 6 - 7 - ...
-----------------------------------------
S-Sb=0 + 4 - 0 + 8 - 0 + 12 -0 ......
Je celkem zřejmé, že S-Sb = 4×(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + ...), a tedy:
S - Sb = 4S
S = -Sb/3 = -1/12
-------------------
Takže to, co se zdálo selským rozumem nekonečné, je exaktním postupem konečné a dokonce záporné. Součet všech kladných čísel dává záporný výsledek! To vypadá jako nehorázná pitomost, ale vědci se ohánějí nějakou Riemannovou zeta funkcí, podle které to tak prý může být. A protože výsledek nemůže být současně nekonečný i -1/12, někde musí být chyba. Je snad v tom výše uvedeném výpočtu?
|
|